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17.如圖,△ABC是等腰直角三角形,P是斜邊AB上的一點(diǎn),以CP為斜邊作等腰Rt△CPE,連接AE交BC所在直線于D.求證:AE=ED.

分析 先過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,得到∠CGP=∠EFC=90°,再根據(jù)∠GPC=∠FCE,判定△GPC∽△FCE,得出CG=$\sqrt{2}$EF,最后根據(jù)△ACG是等腰直角三角形,得到AC=$\sqrt{2}$CG=2EF,即可得到E是AD的中點(diǎn).

解答 解:如圖所示,過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CG⊥AB于G,則∠CGP=∠EFC=90°,
∵△CPE,△ABC都是等腰直角三角形,
∴∠PCE=∠B=45°,
∴∠BCP+∠GPC=135°,∠BCP+∠FCE=135°,
∴∠GPC=∠FCE,
∴△GPC∽△FCE,
∴EF:CG=CE:PC=1:$\sqrt{2}$,
即CG=$\sqrt{2}$EF,
又∵△ACG是等腰直角三角形,
∴AC=$\sqrt{2}$CG=2EF,
∵EF∥AC,
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{EF}{AC}$=$\frac{1}{2}$,
∴AE=ED.

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形,運(yùn)用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo).解題時(shí)注意:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,所得的對應(yīng)線段成比例.

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(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為8,點(diǎn)O、F為線段AE的三等分點(diǎn),求線段BD的長度;
(3)判斷線段AD、CD、AF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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