Question

6．如圖，已知△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)F，交DB的延長線于點(diǎn)E，且點(diǎn)B是$\widehat{CF}$的中點(diǎn)．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，點(diǎn)O、F為線段AE的三等分點(diǎn)，求線段BD的長度；
（3）判斷線段AD、CD、AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE是切線，只要證明OB⊥DE即可．
（2）由OB∥AD，推出$\frac{OB}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{2}{3}$，推出AD=12，在Rt△ADE中，AD=12，AE=24，推出DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}-1{2}^{2}}$=12$\sqrt{3}$，由DB=$\frac{1}{3}$DE，即可解決問題．
（3）如圖2中，結(jié)論：AF=AD+CD．連接BF，作BH⊥AE于E，只要證明△BAD≌△BAH，推出AD=AH，BD=BH，再證明△BCD≌△BFH，'推出CD=HF即可．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OB．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵點(diǎn)B是$\widehat{CF}$的中點(diǎn)，
∴∠DAB=∠BAF=∠ABO，
∴∠ABO+∠ABD=90°，
∴∠OBD=90°，
∴OB⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵AD⊥DE，OB⊥DE，
∴OB∥AD，
∴$\frac{OB}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=12，
在Rt△ADE中，∵AD=12，AE=24，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}-1{2}^{2}}$=12$\sqrt{3}$，
∴DB=$\frac{1}{3}$DE=4$\sqrt{3}$，

（3）如圖2中，結(jié)論：AF=AD+CD．
理由：連接BF，作BH⊥AE于E．
在△BAD和△BAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BAH}\\{∠D=∠AHB=90°}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BAH，
∴AD=AH，BD=BH，
∵∠BCD+∠ACB=180°，∠ACB+∠BFH=180°，
∴∠BCD=∠BFH，
在△BCD和△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BFH}\\{∠D=∠BHF=90°}\\{BD=BH}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BFH，'
∴CD=HF，
∴AF=AH+HF=AD+CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定，弧、圓心角、弦之間的關(guān)系，三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．