Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于點D，將△BCD繞點B逆時針旋轉，旋轉角的大小與∠CBA相等，如果點C、D旋轉后分別落在點E、F的位置，那么∠EFD的正切值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，延長CD交EF于G，根據等腰三角形的性質和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根據旋轉變換的性質得到∠FBD=∠CBA，證明FB∥AH，根據四點共圓得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，延長CD交EF于G，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，
$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×AC×BD，即6×4=5×BD，
解得，BD=$\frac{24}{5}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，AD=$\frac{7}{5}$，
∵∠FBD=∠CBA，
∴∠FBE=∠DBC，
∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，
∴∠FBE=∠BAH，
∴FB∥AH，
∴∠FBC=∠AHC=90°，
∴EF∥BC，
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，
∴AG=AE=BE-AB=BC-AB=1，
∴DG=$\frac{12}{5}$，
∴∠F=∠BDC=90°，
∴F、B、D、G四點共圓，
∴∠EFD=∠GBD，
tan∠GBD=$\frac{GD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EFD的正切值是$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是旋轉變換的性質、等腰三角形的性質、銳角三角函數的應用，掌握旋轉變換的性質、熟記銳角三角函數的概念是解題的關鍵．