Question

18．閱讀下面的材料：某數學學習小組遇到這樣一個問題：
如果α，β都為銳角，且tanα=$\frac{1}{4}$，tanβ=$\frac{3}{5}$，求α+β的度數．
該數學課外小組最后是這樣解決問題的：如圖1，把α，β放在正方形網格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直線BD的兩側，連接AC．
（1）觀察圖象可知：α+β=45°；
（2）請參考該數學小組的方法解決問題：如果α，β都為銳角，當tanα=3，tanβ=$\frac{1}{2}$時，在圖2的正方形網格中，畫出∠MON=α-β，并求∠MON的度數．

Answer 1

分析 （1）由BC²=AB²+AC²=2AB²，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，那么α+β=∠ABC=45°；
（2）連結MN，由OM²=ON²+MN²=2ON²，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，那么α-β=∠MON=45°．

解答 解：（1）如圖1．
∵BC²=3²+5²=34，AB²=4²+1²=17，AC²=4²+1²=17，
∴BC²=AB²+AC²=2AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴α+β=∠ABC=45°．
故答案為45；
（2）如圖2，連結MN．
∵OM²=3²+1²=10，ON²=2²+1²=5，MN²=2²+1²=5，
∴OM²=ON²+MN²=2ON²，
∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，
∴α-β=∠MON=45°

點評 本題考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，作圖-應用與設計作圖，利用網格結構進行計算，判斷所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解題的關鍵．