Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，點A（1，$\sqrt{3}$），點B（2，0），P為邊OB上一點，過點P作PQ∥OA，交AB于點Q，連接AP，則△APQ面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥IB于E．設OP=x．根據S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB，根據二次函數利用二次函數的性質解決問題即可．

解答 解：如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥IB于E．設OP=x．

∵A（1，$\sqrt{3}$），B（2，0），
∴OF=1，AF=$\sqrt{3}$，OB=2，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
在Rt△OAF中，∵∠AFO=90°，OF=1，AF=$\sqrt{3}$，
∴OA=AB=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}$=2，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△PQB是等邊三角形，
∴QP=PB=QB=2-x，
∴S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²，
∴S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴當x=1時，△APQ的面積最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查相似三角形的點評和性質、等邊三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型．