Question

8．已知正數(shù)a，b有如下性質(zhì)：
a+b≥2$\sqrt{ab}$  當a=b時，a+b=2$\sqrt{ab}$，a+b取得最小值2$\sqrt{ab}$．
例如：代數(shù)式x+$\frac{4}{x}$（x＞0）的最小值為2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4
（1）當x=$\sqrt{7}$ 時，代數(shù)式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值；
（2）已知函數(shù)y=x+$\frac{9}{x}$，自變量x＞0時，函數(shù)存在最小值，設x=x₀＞0時函數(shù)取得最小值，當0＜x≤x₀時，y隨x的增大而減小；當x≥x₀時，y隨x的增大而增大；
根據(jù)以上信息求：當1≤x≤9時，函數(shù)值y的范圍為：6≤y≤10．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知：當3x=$\frac{21}{x}$時，代數(shù)式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值．解3x=$\frac{21}{x}$即可得出x的值，再根據(jù)x＞0即可確定答案；
（2）根據(jù)題意可知：當x=$\frac{9}{x}$，即x=3時，函數(shù)取得最小值2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6；再分別代入x=1與x=9求出y值，由此即可得出函數(shù)值y的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：當3x=$\frac{21}{x}$時，代數(shù)式3x+$\frac{21}{x}$（x＞0）取得最小值，
即3x²=21，
解得：x=±$\sqrt{7}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．
（2）根據(jù)題意可知：當x=$\frac{9}{x}$，即x=3時，函數(shù)取得最小值2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6；
當x=1時，y=x+$\frac{9}{x}$=1+9=10；
當x=9時，y=x+$\frac{9}{x}$=9+1=10．
∴當1≤x≤9時，函數(shù)值y的范圍為：6≤y≤10．
故答案為：6≤y≤10．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)，讀懂題意，模仿給定例題解決問題是解題的關鍵．