Question

17．如圖，用同樣規格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察圖形，并探究和解答下列問題：

（1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數為y，請寫出y與n（表示第n個圖形）的關系式；
（2）上述鋪設方案，鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；
（3）黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（2）中，共需要花多少錢購買瓷磚？
（4）否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等的情形？請通過計算加以說明．

Answer 1

分析 （1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數為y，分別求出n=1、2、3時，y的值各是多少，判斷出y與n（表示第n個圖形）的關系式即可．
（2）根據鋪一塊這樣的長方形地面共用了506塊瓷磚，列出一元二次方程，求出此時n的值是多少即可．
（3）首先分別求出需要的白瓷磚、黑瓷磚的數量各是多少；然后根據總價=單價×數量，分別用黑瓷磚、白瓷磚每塊的價格乘需要的黑瓷磚、白瓷磚的數量，求出共需要花多少錢購買瓷磚即可．
（4）當黑瓷磚與白瓷磚塊數相等時，鋪設地面所用瓷磚的總塊數等于白瓷磚的數量的2倍，所以（n+3）（n+2）=2n（n+1），通過計算加以說明存在不存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等的情形即可．

解答 解：（1）n=1時，y=4×3=12，
n=2時，y=5×4=20，
n=3時，y=6×5=30，
∴y=（n+3）（n+2）．

（2）（n+3）（n+2）=506
∴n²+5n-500=0，
解得n=20或n=-25（舍去）．

（3）20×（20+1）=420（塊）
4×（506-420）+3×420
=4×86+1260
=344+1260
=1604（元）
答：共需要花1604元購買瓷磚．

（4）當黑瓷磚與白瓷磚塊數相等時，鋪設地面所用瓷磚的總塊數等于白瓷磚的數量的2倍，
∴（n+3）（n+2）=2n（n+1），
∴n²+5n+6=2n²+2n，
整理，可得
n²-3n-6=0，
解得n=$\frac{3±\sqrt{33}}{2}$，
∵n是整數，
∴不存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等的情形．
答：不存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等的情形．

點評 此題主要考查了一元二次方程的求法和應用，圖形的變化規律，以及函數值的求法，要熟練掌握．