Question

5．如圖，點M、N是線段AB的勾股分割點（勾股分割點定義：指M、N把線段AB分割成AM，MN，和BN．若以AM，MN，和BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點）．現若已知AM=3，MN=4，則BN=5或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可．

解答 解：分兩種情況：
①當MN為最大線段時，
∵點 M、N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$；                      
②當BN為最大線段時，
∵點M、N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=$\sqrt{A{M}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
綜上所述：BN的長為5或$\sqrt{7}$．
故答案為：5或$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了新定義“勾股分割點”、勾股定理；理解新定義，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解決問題的關鍵．