Question

3．（1）如圖1，E、F是正方形ABCD的邊AB及DC延長線上的點，且BE=CF，則BG與BC的數量關系是BG=$\frac{1}{2}$BC．
（2）如圖2，D、E是等腰△ABC的邊AB及AC延長線上的點，且BD=CE，連接DE交BC于點F，DG⊥BC交BC于點G，試判斷GF與BC的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明△BEG≌△CFG即可．
（2）如圖2中，作DH∥AE交CB于H．首先證明DH=DB=CE，由DG⊥BH，推出BG=GH，由△FDH≌△FEC，推出FH=CF，推出FG=GH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（BH+CH）=$\frac{1}{2}$BC即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CF，
∴∠BEG=∠F，
在△BEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠F}\\{∠EGB=∠CGF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CFG，
∴BG=CG，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC，
故答案為BG=$\frac{1}{2}$BC．

（2）如圖2中，作DH∥AE交CB于H．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DH∥AE，
∴∠DHB=∠ACB，∠HDF=∠E，
∴∠B=∠DHB，
∴DH=DB=CE，
∵DG⊥BH，
∴BG=GH，
在△FDH和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDH=∠E}\\{∠DFH=∠EFC}\\{DH=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDH≌△FEC，
∴FH=CF，
∴FG=GH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（BH+CH）=$\frac{1}{2}$BC．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，所以中考常考題型．