Question

8．如圖在△ABC的邊AB，AC的外側分別作等邊△ABC和等邊△ACE，連接DC，BE，
（1）求證：DC=BE；
（2）若AB=3，BC=4，BE=5，請求出△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，兩三角形的內角都為60°，利用等式的性質得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；
（2）首先證明∠DBC=90°，推出∠ABC=30°，作AM⊥BC于M，則AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AM計算即可．

解答 （1）證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE．

（2）解：在Rt△DBC中，∵CD=BE=5，BC=4，BD=AB=3，
∴BD²+BC²=3²+4²=25，CD²=25，
∴BD²+BC²=CD²，
∴∠DBC=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ABC=30°，
作AM⊥BC于M．
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AM=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$=3．

點評 此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．