Question

16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD交AB于E，求證：AE=2BE．

Answer 1

分析 如圖，作BF⊥BC交CE的延長線于F．由△BCF≌△CAD，推出CD=BF，由AC=BC，CD=DB，推出AC=2BF，由BF∥AC，推出$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AE}{BE}$=2，即可解決問題．

解答 證明：如圖，作BF⊥BC交CE的延長線于F．

∵∠ACB=∠CBF=90°，AD⊥CE，
∴∠BCF+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
在△BCF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CAD}\\{BC=AC}\\{∠CBF=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CAD（ASA），
∴CD=BF，
∵AC=BC，CD=DB，
∴AC=2BF，
∵BF∥AC，
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AE}{BE}$=2，
∴AE=2BE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．