Question

19．已知：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）求∠AEB的度數；
（3）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①∠AEB的度數為90°；
②探索線段CM、AE、BE之間的數量關系為AE=BE+2CM．（直接寫出答案，不需要說明理由）

Answer 1

分析 （1）由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到對應邊相等，即AD=BE；
（2）根據△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由點A，D，E在同一直線上，可求出∠ADC=120°，從而可以求出∠AEB的度數；
（3）①首先根據△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進而判斷出∠AEB的度數為90°；②根據DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據此判斷出AE=BE+2CM．

解答 解：（1）如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；

（3）①如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
故答案為：90；

②如圖2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已證），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
故答案為：AE=BE+2CM．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定方法和性質，等邊三角形的性質以及等腰直角三角形的性質的綜合應用．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．