Question

3．如圖，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0）．
（1）求證：AO=AB；
（2）用直尺和圓規(guī)作出△AOB的外心P；
（3）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用；兩點(diǎn)間的距離公式求出OA和AB，即可得出結(jié)論；
（2）由于點(diǎn)P是△AOB的外心，即：點(diǎn)P是△AOB的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而用作垂直平分線的方法作出OB，OA的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P；
（3）由OA=AB得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P到點(diǎn)O和點(diǎn)A的距離線段建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），
∴OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12，0），
∴AB=$\sqrt{（12-6）^{2}+（-8）^{2}}$=10，
∴AO=AB；

（2）如圖1，

∴點(diǎn)P是所求作的△AOB的外心；

（3）如圖2，

過點(diǎn)A作AD⊥OB于D，
連接OP，
∵點(diǎn)P是△AOB的外心，
∴PA=PO，
由（1）知，OA=AB，
∵A（6，8），
∴設(shè)P（6，m），
∴PA=8-m，PO=$\sqrt{{6}^{2}+{m}^{2}}$，
∴8-m=$\sqrt{{6}^{2}+{m}^{2}}$，
∴m=$\frac{7}{4}$，
∴P（6，$\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了平面坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式，三角形的外心的性質(zhì)，基本作圖；解本題的關(guān)鍵是作出點(diǎn)P，也是解本題的難點(diǎn)．