Question

11．如圖，拋物線頂點坐標為點C（2，8），交x軸于點A（6，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）x軸上是否存在一點Q，過點Q作x軸的垂線，交拋物線于P點，交直線BA于D點，使以PD為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理出．

Answer 1

分析 （1）設出拋物線解析式，用待定系數法求出拋物線解析式，即可得出點B的坐標，進而求出直線AB解析式；
（2）設出點Q的坐標，進而得出點D，P的坐標，即可得出PD，用圓心到y軸的距離等于半徑，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線頂點坐標為點C（2，8），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+8，
∵拋物線交x軸于點A（6，0），
∴0=a（6-2）²+8，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∴B（0，6），
設直線AB的解析式為y=kx+6，
∵A（6，0），
∴6k+6=0，
∴k=-1，
∴直線AB的解析式為y=-x+6；
（2）設Q（m，0）（m≠0），
∴D（m，-m+6），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+6），
∴PD=|-$\frac{1}{2}$m²+2m+6-（-m+6）|=|$\frac{1}{2}$m²-3m|，
∵以PD為直徑的圓與y軸相切，
∴$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{2}$m²-3m|=|m|，
∴m=0（舍）或m=2或m=10，
滿足條件的Q（2，0）、（10，0）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，圓的切線的性質，解（1）的關鍵是設出拋物線的頂點式，解（2）的關鍵是圓心到y軸的距離等于半徑建立方程．