Question

19．如圖，點C在以AB為直徑的半圓⊙O上，BE，AD分別為∠ABC，∠CAB的角平分線，AB=6，則DE的長為（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 5

Answer 1

分析 連結OE，OD．先證明∠CAB+∠CBA=90°，由角平分線的定義可證明∠DAB+∠EBA=45°，接下來，利用圓周角定理可知可證明∠AOE+∠BOD=90°，則△EOD為等腰直角三角形，最后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得ED的長．

解答 解：連結OE，OD．

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵BE，AD分別為∠ABC，∠CAB的角平分線，
∴∠DAB+∠EBA=45°．
由圓周角定理可知∠AOE=2∠ABE，∠DOB=2∠DAB，
∴∠AOE+∠BOD=90°．
∴∠EOD=90°．
∵AB=6，
∴OE=OD=3．
∴ED=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題主要考查的是圓周角定理以及其推理的應用、特殊銳角三角函數(shù)值，得到△EOD為等腰直角三角形是解題的關鍵．