Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+6的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點C為拋物線的頂點，且A、B兩點的橫坐標分別為1和3．
（1）寫出A、B兩點的坐標；
（2）求二次函數的解析式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在一點P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據x軸上點的特點直接得出點A，B坐標；
（2）將點A，B坐標代入拋物線解析式，解方程組即可；
（3）根據∠BAP=45°，得|m|=1，再分點P在x軸上方和x軸下方兩種情況求出直線AP的解析式，聯立拋物線解析式求出交點坐標即可．

解答 解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+6的圖象交x軸于A、B兩點，且A、B兩點的橫坐標分別為1和3，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）由（1）知，A（1，0），B（3，0），
∵二次函數y=ax²+bx+6的圖象交x軸于A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴二次函數的解析式為y=2x²-8x+6；

（3）假設存在點P，設直線AP的解析式為y=mx+n，
∵∠BAP=45°，
∴|m|=1，
當點P在x軸上方時，m=1，
∵A（1，0），
∴直線AP的解析式為y=x-1①，
∵點P在拋物線y=2x²-8x+6②上，
∴聯立①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=x-1}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$），
當點P在x軸下方時，m=-1，
∵A（1，0），
∴直線AP的解析式為y=-x+1③，
聯立②③得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
即：P（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查待定系數法求拋物線和直線的解析式，求直線和拋物線的交點坐標，解方程組，用待定系數法求出直線AP和拋物線的解析式是解本題的關鍵．