Question

12．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．點P從點A出發，以4cm/s的速度在線段AB上運動；同時點Q也從點A出發，沿線段AC運動，且始終保持PQ⊥AB．以點Q為圓心，PQ為半徑作⊙O．設運動時間為t（s）．
（1）求點Q的運動速度；
（2）若⊙O與BC相切，求運動時間t；
（3）過點Q作QD∥AB交⊙O于點D（點D在AC所在的直線下方），連結DC．當點Q在線段AC上運動時，求△CDQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據PQ⊥AB和直角三角形ABC得出Rt△ACB∽Rt△APQ，進而求出PQ，再用勾股定理得出AQ即可；
（2）根據BC與⊙Q相切得出QC=PQ=3t，用AQ+QC=AC建立方程求解即可；
（3）先判斷出Rt△APQ∽Rt△QED進而求出DE，用三角形的面積公式得出S_△CDQ=-$\frac{9}{2}$（t-$\frac{4}{5}$）2+$\frac{72}{25}$，進而確定出最大值．

解答 解：（1）
∵PQ⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴Rt△ACB∽Rt△APQ，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AP}{PQ}$，
由運動知，AP=4t，
∵AC=8，BC=6，
∴$\frac{8}{6}=\frac{4t}{PQ}$，
∴PQ=3t，
∴根據勾股定理得，AQ=5t，
∴點Q的速度為$\frac{5t}{t}$=5（cm/s），
（2）∵⊙Q與BC相切，
∴QC=PQ=3t，
∵AC=AQ+QC=8，
∴5t+3t=8，
∴t=1，
（3）如圖，過點D作DE⊥AC于E，
∵QD∥AB，PQ⊥AB，
∴Rt△APQ∽Rt△QED，
∴$\frac{PQ}{AQ}=\frac{DE}{DQ}$，
∵PQ=3t，AQ=5t，DQ=PQ=3t，
∴$\frac{3t}{5t}=\frac{DE}{3t}$，
∴DE=$\frac{9}{5}$t，
∵QC=8-5t，
∴S_△CDQ=$\frac{1}{2}$QC•DE=$\frac{1}{2}$（8-5t）•$\frac{9}{5}$t=-$\frac{9}{2}$（t-$\frac{4}{5}$）²+$\frac{72}{25}$，
∵-$\frac{9}{2}$＜0，∴
∴△CDQ面積的最大值為$\frac{72}{25}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質，相切的性質，勾股定理，解（1）的關鍵是得出PQ=3t，解（2）的關鍵是用AC=AQ+CQ建立方程，解（3）的關鍵是建立三角形的面積與運動時間t的函數關系式．