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3.已知關于x的方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0
(1)證明:無論m為何值方程都有兩個實數根;
(2)是否存在正數m,使方程的兩個實數根的平方和等于26?若存在,求出滿足條件的正數m的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)求出根的判別式,再根據非負數的性質即可證明;
(2)根據一元二次方程根與系數的關系即可求得方程兩根的和與兩根的積,兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積表示,根據方程的兩個實數根的平方和等于26,即可得到一個關于m的方程,求得m的值.

解答 (1)證明:∵關于x的方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0的判別式△=(m-3)2+4m(2m-3)=9(m-1)2≥0,
∴無論m為何值方程都有兩個實數根;

(2)解:設方程的兩個實數根為x1、x2
則x1+x2=-(m-3),x1×x2=-m(2m-3),
令x12+x22=26,得:(x1+x22-2x1x2=(m-3)2+2m(2m-3)=26,
整理,得5m2-12m-17=0,
解這個方程得,m=$\frac{17}{5}$或m=-1,
所以存在正數m=$\frac{17}{5}$,使得方程的兩個實數根的平方和等于26.

點評 本題考查了根與系數的關系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=-$\frac{b}{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.也考查了根的判別式.

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