Question

18．如圖1，已知：AM⊥FM，AM∥BC∥DE，AB∥CD∥EF，AB=CD=EF=6m，∠BAM=30°．
（1）求FM的長；
（2）如圖2，連接AC、EC；BD、FD，求證：∠ACE=∠BDF．

Answer 1

分析 （1）分別過點B、D、F作BN⊥AM于點N，DG⊥BC延長線于點G，FH⊥DE延長線于點H，根據AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分別解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的長度，繼而可求出FM的長度；
（2）周長四邊形ABDC是平行四邊形，得出CA=DB，同理CE=DF，AE=BF，由SSS證明△ACE≌△BDF，即可得出結論．

解答 解：（1）分別延長DC、FE交AM于P、N；如圖1所示：
∵AB∥CD，AM∥BC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，AB=PC
同理四邊形DPNE是平行四邊形，PD=EN，
∴FN=AB+CD+EF=18cm
∵∠FMN=90°，∠BAM=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$FN=9m；
（2）連接AE、BF，如圖2所示：
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴CA=DB，
同理CE=DF，AE=BF，
在△ACE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\\{CA=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BDF（SSS），
∴∠ACE=∠BDF．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．