Question

20．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“中線三角形”

（1）如圖1，已知AB，作一個“中線三角形”ABC，使AB邊上的中線長OC=AB
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC是“中線三角形”，且AC邊上的中線BD=AC，求$\frac{BC}{AC}$的值
（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長為6，點P、Q同時從點A出發，以相同的速度分別沿折線AB-BC和AD-CDC向終點C運動，當△APQ是“中線三角形”時，求△APQ的面積．

Answer 1

分析 （1）作AB的中點O，再通過同圓的半徑相等，取OC=AB，則△ABC就是所求作的中線三角形；
（2）如圖2，作輔助線，構建等邊三角形，證明△CDE是等邊三角形，得∠DCE=∠DEC=60°，所以∠ECB=30°設EF=x，分別表示BC=2$\sqrt{3}$x，AC=2DC=2CE=4x，代入求比值即可；
（3）①如圖3，當△APQ為中線三角形，此時PQ=AE，因為點P、Q同時從點A出發，且以相同的速度運動，所以AB+BP=AD+DQ，則BP=DQ，根據等式的性質和正方形的邊長相等得：PC=CQ，再證明△ABP≌△ADQ，得AP=AQ，由等腰三角形三線合一的性質得：AE⊥PQ，∠PAE=∠QAE，并證明AE與AC共線，
設CE=x，表示PQ=AE=2x，根據勾股定理列方程求出x的值，代入面積公式求三角形的面積即可．
②如圖4，當AP=EQ時，作輔助線，設AG=x，則AP=AQ=4x，先表示AP與高QG的長，利用面積公式可計算結果．

解答 解：（1）作法：①作AB的中垂線，交AB于O，
②以O為圓心，以AB為半徑畫圓，在圓上任意取一點C，
③連接AC、BC，
則△ABC就是所求作的中線三角形；
（2）如圖2，取BD的中點E，連接CE，過E作EF⊥BC于F，
∵∠C=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=BE，
∵D是AC的中點，E是BD的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴CD=DE=CE，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠ECB=90°-60°=30°，
設EF=x，則EC=BE=2x，CF=$\sqrt{3}$x，
同理BF=$\sqrt{3}$x，
∴BC=2$\sqrt{3}$x，AC=2DC=2CE=4x，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{3}x}{4x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）有兩種情況：
①如圖3，當△APQ為中線三角形，此時PQ=AE，
由題意得：AB+BP=AD+DQ，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴BP=DQ，
∴BC-BP=CD-DQ，
∴PC=CQ，
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∵AE為中線，
∴AE⊥PQ，∠PAE=∠QAE，
連接AC，
∵AP=AQ，PC=CQ，
∴AC為PQ的中垂線，
∴AE與AC共線，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，
∵E是PQ的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$PQ=PE=EQ，
設CE=x，則PE=EQ=x，PQ=AE=2x，
Rt△ABC中，AB=6，
∴6²+6²=AC²=（AE+CE）²，
72=（2x+x）²，
x=$±2\sqrt{2}$，
∵x＞0，
∴PQ=AE=2x=4$\sqrt{2}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ•AE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．
②如圖4，當△APQ為中線三角形，此時AP=EQ，
過E作QG⊥AP于G，
∵AP=AQ=EQ，
∴AG=EG，
∵AE=EP，
設AG=x，則AP=AQ=4x，
∴QG=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（4x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
連接AC交PQ于H，則AC⊥PQ，
設CH=a，則QH=a，AH=6$\sqrt{2}$-a，
Rt△AHQ中，AQ²=AH²+HQ²，
∴$（4x）^{2}=（6\sqrt{2}-a）^{2}+{a}^{2}$，
16x²=72-12$\sqrt{2}$a+2a²  ①，
S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QG=$\frac{1}{2}$PQ•AH，
4x$•\sqrt{15}$x=2a（6$\sqrt{2}$-a），
$4\sqrt{15}{x}^{2}$=12$\sqrt{2}$a-2a²  ②，
由①和②得：16x²=72-4$\sqrt{15}$x²，
（16+4$\sqrt{15}$）x²=72，
x²=18（4-$\sqrt{15}$），
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QG=$\frac{1}{2}$•4x$•\sqrt{15}$x=2$\sqrt{15}$×18（4-$\sqrt{15}$）=144$\sqrt{15}$-540；
綜上所述，當△APQ是“中線三角形”時，△APQ的面積是16或144$\sqrt{15}$-540．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的性質以及三角形全等的性質和判定，又是一道新定義的閱讀理解問題及尺規作圖題，綜合性較強；熟練掌握性質和定理是關鍵，并注意理解和運用已知的“中線長恰好等于這邊的長”這一條件．