Question

17．如圖，已知矩形ABCD，將△ABD繞點A逆時針旋轉n°，得到△AEF，B，D的對應點分別為E，F．
（1）①當n=90°時，畫出圖形；
②取AB中點G，CF的中點H，連接GH并延長交AE于I，求證：AI=EI；
（2）當n≠90°時（如圖3），（1）的結論還成立嗎？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）①當n=90°時，圖象如圖所示．②如圖1中，作HM⊥BF于M．設CB=AD=AF=a，AB=b，首先證明MG=MH=$\frac{1}{2}$a，推出∠AGI=45°即可證明．
（2）結論仍然成立．如圖2中，連接FB、DF，作FN⊥BC于N，交AD于K，作HM⊥AB于M，交BF于O，交FN于Q，作GP⊥FN于P，連接OG、OP，作OJ⊥GP于J．
首先證明△FKD∽△PQH，推出∠FDK=∠QHP，再證明∠QHP=∠AGH，推出∠AIG=∠AFD=∠AGI，即可解決問題．

解答 （1）①解：當n=90°時，圖象如圖所示．

②證明：如圖1中，作HM⊥BF于M．設CB=AD=AF=a，AB=b，
∵FH=HC，HM∥BC，
∴FM=BM=$\frac{a+b}{2}$，
∴HM=$\frac{1}{2}$a，
∵BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
∴MG=BM-GB=$\frac{1}{2}$（a+b）-$\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$a，
∴MG=MH，
∴∠MGH=∠MHG=45°，
∵∠GAI=90°，
∴∠AGI=∠AIG=45°，
∴AG=AI，
∵AB=AE，AG=GB，
∴AI=IE．

（2）解：結論仍然成立．理由如下，
如圖2中，連接FB、DF，作FN⊥BC于N，交AD于K，作HM⊥AB于M，交BF于O，交FN于Q，作GP⊥FN于P，連接OG、OP，作OJ⊥GP于J．

∵HM∥BC，FH=HC，
∴FQ=QN，FO=OB，
∵AG=BG，
∴AF=2OG，BN=2OQ=2OM，CN=DK=2QI，PK=PN，設AB=m，PQ=n，
∵FQ=QN=$\frac{m}{2}$+n，KQ=$\frac{m}{2}$-n，FK=FQ-KQ=$\frac{m}{2}$+n-（$\frac{m}{2}-n$）=2n，
∴FK=2PQ，
∴$\frac{KD}{QI}$=$\frac{KF}{PQ}$=2，∵∠FKD=∠PQH=90°，
∴△FKD∽△PQH，
∴∠FDK=∠QHP，
∵FO=OB，FH=HC，
∴BC=2OH，∵AF=BC=2OG，
∴OH=OG，易證OG=PO，
∴OG=OP=OH，以O為圓心OH為半徑作圓，
∵OJ⊥GP，OG=OP，
∴∠GOJ=∠POJ=∠OGM=∠GHP，
∵OG=OH，
∴∠OHG=∠OGH，
∵∠QHP=∠OHG+∠GHP=∠OGH+∠OGM=∠AGH，
∴∠AGH=∠ADF，
∵∠FAD=∠GAH（旋轉角相等），
∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∵∠FAD+∠ADF+∠AFD=180°，∠GAI+∠AGI+∠AIG=180°，
∴∠AIG=∠AFD=∠AGI，
∴AI=AG，
∵AE=AB，AG=GB，
∴AI=IE．

點評 本題考查四邊形綜合題、旋轉變換、矩形的性質、三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，體現了數形結合的數學思想，本題輔助線比較多，發現△FKD∽△PQH，是解題的突破點，屬于競賽題．