Question

12．如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸切于點C，且OA，OB的長是方程x²-4x+3=0的解．
（1）求M點的坐標．
（2）若P是⊙M上一個動點（不包括A、B兩點），求∠APB的度數．

Answer 1

分析 （1）過點M作ME⊥x軸于點E，連接MC，解出方程后可知OA=1，OB=3，然后即可求出OE的長度，由于C是切點，所以MC是半徑，又因為MC=OE，從而可知⊙M的半徑，利用垂徑定理即可求出M的坐標．
（2）由于點P的位置不確定，需要分兩種情況進行討論，可根據圓周角定理以及圓內接四邊形的性質求解．

解答 解：（1）過點M作ME⊥x軸于點E，連接MC，
∵OA，OB的長是方程x²-4x+3=0的解，
∴解得x=1或x=3，
∴OA=1，OB=3，
∴A（1，0），B（3，0）
由垂徑定理可知：AE=BE，
∴E（2，0），
∴OE=2，AE=1，
∵⊙M與y軸切于點C，
∴MC是⊙M的半徑，
∴MC=OE=2，
∴由勾股定理可知：ME=$\sqrt{3}$，
∴M的坐標為（2，$\sqrt{3}$）；
（2）連接MB、AM
當點P在x軸上方時，
由（1）可知：AM=2，AE=1，
∴∠AME=30°，
∴由垂徑定理可知：∠AMB=60°，
∴由圓周角定理可知：∠APB=$\frac{1}{2}$∠AMB=30°，
當點P在x軸下方時，
∴由圓內接四邊形的性質可知：此時∠APB=180°-30°=150°

點評 本題考查圓的相關性質，解題的關鍵是根據OA與OB的長度，以及切點C求出⊙M的半徑，從而根據垂徑定理、勾股定理，圓周角定理求出M的坐標和∠APB的度數．