Question

1．問題背景：如圖（a），點A，B在直線L的同側，要在直線L上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于直線L的對稱點 B′，連接A B′與直線L交于點C，則點C即為所求．

（1）運用：如圖（b），已知⊙O的直徑CD為4，點A在⊙O 上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為多少？寫出解答過程．
（2）拓展：如圖（c），在拋物線y=x²-2x-3的對稱軸上有兩動點M，N（點M在點N的下方），且MN=6，試求四邊形ACMN的周長最小值 （直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）過點B作CD的垂線交CD于E點，交圓O于B₁點，連接AB₁，當P點為AB₁與CD的交點時，AP+BP的值最小，根據勾股定理求出AB₁，即可得出PA+PB的最小值．
（2）由于AC與MN的長度都是定值，所以當四邊形ACMN的周長最小時，AN+CM最小．將點C向上平移6個單位得C′，連接BC′交對稱軸于點N，再將點N向下平移6個單位即得到點M，則AN+CM=BC′最小，運用勾股定理即可求出BC′的長度．

解答 解：（1）如圖b，過點B作CD的垂線交CD于E點，交圓O于B₁點，連接AB₁，
當P點為AB₁與CD的交點時，AP+BP的值最小．
過A點作CD的垂線交CD于F點，交圓O于H點，過B₁作AH的垂線交AH于G點．
由垂徑定理可知：BP=B₁P；
∵∠ACD=30°，B為弧AD的中點，
∴OE=$\sqrt{3}$OF=1．
∴EF=B₁G=$\sqrt{3}$，又由于AG=AF+FG=$\sqrt{3}$，
AB₁²=AG²+B₁G²=（$\sqrt{3}$+1）²+（$\sqrt{3}$-1）²=3．
∴AB₁=2$\sqrt{2}$，即AP+BP的最小值為2$\sqrt{2}$．
（2）如圖c，將點C（0，-3）向上平移6個單位得C′（0，3），連BC′交對稱軸于點N，再將點N向下平移6個單位得點M，則AN+CM最小．
∵CC′∥MN，CC′=MN=6，
∴CC′NM是平行四邊形，
∴C′N=CM．
∵A、B兩點關于MN對稱，
∴BN=AN，
∴AN+CM=BN+C′N=BC′．
∵B（3，0），C′（0，3），
∴BC′=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即四邊形ACMN的周長最小時，AN+CM的長為3$\sqrt{2}$，周長最小值是$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$+6+3$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$+6．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點，軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的判定與性質，勾股定理以及和圓有關的性質，綜合性較強，有一定難度．（2）中確定點M、N的位置是解題的關鍵．