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1.問題背景:如圖(a),點A,B在直線L的同側,要在直線L上找一點C,使AC與BC的距離之和最小,我們可以作出點B關于直線L的對稱點 B′,連接A B′與直線L交于點C,則點C即為所求.

(1)運用:如圖(b),已知⊙O的直徑CD為4,點A在⊙O 上,∠ACD=30°,B為弧AD的中點,P為直徑CD上一動點,則BP+AP的最小值為多少?寫出解答過程.
(2)拓展:如圖(c),在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上有兩動點M,N(點M在點N的下方),且MN=6,試求四邊形ACMN的周長最小值 (直接寫出答案).

分析 (1)過點B作CD的垂線交CD于E點,交圓O于B1點,連接AB1,當P點為AB1與CD的交點時,AP+BP的值最小,根據勾股定理求出AB1,即可得出PA+PB的最小值.
(2)由于AC與MN的長度都是定值,所以當四邊形ACMN的周長最小時,AN+CM最小.將點C向上平移6個單位得C′,連接BC′交對稱軸于點N,再將點N向下平移6個單位即得到點M,則AN+CM=BC′最小,運用勾股定理即可求出BC′的長度.

解答 解:(1)如圖b,過點B作CD的垂線交CD于E點,交圓O于B1點,連接AB1
當P點為AB1與CD的交點時,AP+BP的值最小.
過A點作CD的垂線交CD于F點,交圓O于H點,過B1作AH的垂線交AH于G點.
由垂徑定理可知:BP=B1P;
∵∠ACD=30°,B為弧AD的中點,
∴OE=$\sqrt{3}$OF=1.
∴EF=B1G=$\sqrt{3}$,又由于AG=AF+FG=$\sqrt{3}$,
AB12=AG2+B1G2=($\sqrt{3}$+1)2+($\sqrt{3}$-1)2=3.
∴AB1=2$\sqrt{2}$,即AP+BP的最小值為2$\sqrt{2}$.
(2)如圖c,將點C(0,-3)向上平移6個單位得C′(0,3),連BC′交對稱軸于點N,再將點N向下平移6個單位得點M,則AN+CM最小.
∵CC′∥MN,CC′=MN=6,
∴CC′NM是平行四邊形,
∴C′N=CM.
∵A、B兩點關于MN對稱,
∴BN=AN,
∴AN+CM=BN+C′N=BC′.
∵B(3,0),C′(0,3),
∴BC′=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$,
即四邊形ACMN的周長最小時,AN+CM的長為3$\sqrt{2}$,周長最小值是$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$+6+3$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$+6.

點評 本題是二次函數的綜合題型,其中涉及到的知識點,軸對稱-最短路線問題,平行四邊形的判定與性質,勾股定理以及和圓有關的性質,綜合性較強,有一定難度.(2)中確定點M、N的位置是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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