Question

5．已知：AB，PQ是圓O的兩條直徑，連接PB，AQ．
（1）如圖①，求證：AQ∥BP，AG∥BP；
（2）如圖②，過點B作BC⊥PQ于點D，交圓O于點C，在DG上取一點K，使DK=DP，求證：四邊形AQKC是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由同弧所對的圓周角相等得出∠P=∠A，由OA=OQ得出∠A=∠Q，那么∠P=∠Q，AQ∥PB．根據∠AOQ=∠BOP，得到$\widehat{AQ}$=$\widehat{BP}$，那么AQ=BP；
（2）先由垂徑定理得出BD=CD，又PD=DK，得出四邊形BKCP為菱形，根據菱形的性質得出PB∥CK，再證明CK∥AQ，且CK=AQ，那么四邊形AQKC為平行四邊形．

解答 證明：（1）∵$\widehat{BQ}$=$\widehat{BQ}$，
∴∠P=∠A，
∵OA=OQ，
∴∠A=∠Q，
∴∠P=∠Q，
∴AQ∥PB．
∵∠AOQ=∠BOP，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{BP}$，
∴AQ=BP；

（2）∵PQ⊥BC，
∴BD=CD，
又∵PD=DK，
∴BC與PK互相垂直且平分，
∴四邊形BKCP為菱形；
∴PB∥CK，且PB=CK，
∵PB∥AQ，
∴CK∥AQ，
∵PB=AQ，
∴CK=AQ，
∵CK∥AQ，且CK=AQ，
∴四邊形AQKC為平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定與性質，圓周角定理，關鍵是得出四邊形BKCP為菱形，難度適中．