Question

15．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，連接BE，F為BE的中點，連接DF，CF．
（1）如圖①，當邊AD與邊AB重合時，求證：DF=CF，DF⊥CF；
（2）將△ADE繞A點旋轉到如圖②位置時，（1）中的結論還成立嗎，判斷并說明理由；
（3）如圖③，若∠BAE=135°，AC=2$\sqrt{2}$，AD=1，則CF的長為$\frac{\sqrt{10}}{2}$（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，進而得出DF⊥BF；
（2）先過B作BG∥ED，交DF的延長線于G，連接CG，CD，則∠DEF=∠GBF，根據ASA判定△DEF≌△GBF，進而得出DE=GB=AD，且DF=GF，再根據角的和差關系得到∠DAC=∠CBG，進而判定△ACD≌△BCG（SAS），從而得出CD=CG，∠BCG=∠ACD，最后判定△CDG是等腰直角三角形，根據F是DG的中點，即可得出CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；
（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2$\sqrt{2}$，可以求出AB的值為4，進而可以根據勾股定理可以求出DH為$\sqrt{10}$，再求出DF，由DF=CF，即可求得CF的值．

解答 解：（1）如圖1，∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理，∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF；

（2）DF=CF，DF⊥CF仍成立．
理由：如圖2，過B作BG∥ED，交DF的延長線于G，連接CG，CD，則∠DEF=∠GBF，
∵點F為BE的中點，
∴BF=EF，
在△DEF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GBF}\\{EF=BF}\\{∠DFE=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△GBF（ASA），
∴DE=GB=AD，且DF=GF，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵△ABE中，∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE，而∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠BAE-∠BAC-∠EAD=（180°-∠AEB-∠ABE）-45°-45°=90°-∠AEB-∠ABE，
又∵∠ABE=∠ABC-CBE=45°-∠CBE，
∠AEB=∠AED-∠DEB=45°-∠DEB，
∴∠DAC=90°-（45°-∠DEB）-（45°-∠CBE）=∠DEB+∠CBE=∠GBE+∠CBE=∠CBG，
在△ACD和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BG}\\{∠DAC=∠GBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCG（SAS），
∴CD=CG，∠BCG=∠ACD，
又∵∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ACD+∠ACG=90°，
∴∠DCG=90°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∵F是DG的中點，
∴CF=$\frac{1}{2}$DG=DF，CF⊥DF；

（3）如圖3所示，延長DF交BA于點H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵∠BAE=135°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，且∠BAD=90°，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF，
∵F是BE的中點，
∴EF=BF，
在△DEF和△HBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠HBF}\\{∠DFE=∠HFB}\\{EF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HBF（AAS），
∴ED=HB，DF=HF，
∵AC=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，
在Rt△HAD中，由勾股定理得DH=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
同理可得CF=DF，
∴CF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質及勾股定理的運用．解題時需要作輔助線，構造全等三角形以及等腰直角三角形，運用等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質及其判定定理是解題的關鍵．