Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+4交x軸于點M，交y軸于點A，過A，M兩點的⊙O₁的圓心O₁在x軸上，交x軸于另一點N，交y軸于另一點B，D，C為優弧$\widehat{AB}$上兩動點，且AC⊥BD交BD于G，延長OG交CD于H．
（1）求圓心O₁的坐標；
（2）求證：OH⊥CD；
（3）當D、C兩點在⊙O₁上運動時，線段CD的長是否為定值？如果是，求其值；如果不是，請說明理由；
（4）連接AD、BC，問：AD²+BC²的值是否為定值？如果是，求其值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AO₁，設⊙O₁的半徑為r．在Rt△AOO₁中，根據O₁A²=OO₁²+OA²，可得方程r²=4²+（r-2）²，由此即可解決問題．
（2）由BD⊥AC，推出∠AGB=90°，由OO₁⊥AB，推出OA=OB，推出OG=OA=OB，推出∠OBG=∠OGB=∠DGH，∠OAG=∠OGA=∠D，由∠OBG+∠OAG=90°，推出∠DGH+∠D=90°，即∠DHG=90°．
（3）結論：線段CD的長是定值，CD=6．只要證明△KDC∽△AO₁O，得到$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$，求出CD即可．
（4）結論：AD²+BC²的值是定值．由∠AGD=∠BGC=90°，可知AD²+BC²=AG²+DG²+BG²+CG²=（AG²+BG²）+（DG²+CG²）=AB²+CD²，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AO₁，設⊙O₁的半徑為r．

∵直線y=2x+4交x軸于點M，交y軸于點A，
∴M（-2，0），A（0，4），
∴OM=2，OA=4，
在Rt△AOO₁中，∵O₁A²=OO₁²+OA²，
∴r²=4²+（r-2）²，
∴r=5，
∴OO₁=3，
∴點O₁坐標為（3，0）．

（2）如圖2中，

∵BD⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∵OO₁⊥AB，
∴OA=OB，
∴OG=OA=OB，
∴∠OBG=∠OGB=∠DGH，∠OAG=∠OGA=∠D，
∵∠OBG+∠OAG=90°，
∴∠DGH+∠D=90°，
∴∠DHG=90°，
∴OH⊥CD．

（3）結論：線段CD的長是定值，CD=6
理由：如圖3中，連接O₁A，BC、DO₁．延長DO₁交⊙O₁于K，連接CK．

∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠ACB=90°，
∵∠AO₁O=∠ACB，∠OAO₁+∠AO₁O=90°，
∴∠K=∠CBD=∠OAO₁，∵∠DCK=∠AOO₁=90°，
∴△KDC∽△AO₁O，
∴$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$，
∴$\frac{CD}{3}$=$\frac{10}{5}$，
∴CD=6．

（4）結論：AD²+BC²的值是定值．AD²+BC²=100．
理由：如圖4中，連接AD、BC．

∵∠AGD=∠BGC=90°，
∴AD²+BC²=AG²+DG²+BG²+CG²=（AG²+BG²）+（DG²+CG²）=AB²+CD²=8²+6²=100．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用相似三角形的性質解決求線段問題，屬于中考壓軸題．