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8.如圖,在平面直角坐標系中,直線y=2x+4交x軸于點M,交y軸于點A,過A,M兩點的⊙O1的圓心O1在x軸上,交x軸于另一點N,交y軸于另一點B,D,C為優弧$\widehat{AB}$上兩動點,且AC⊥BD交BD于G,延長OG交CD于H.
(1)求圓心O1的坐標;
(2)求證:OH⊥CD;
(3)當D、C兩點在⊙O1上運動時,線段CD的長是否為定值?如果是,求其值;如果不是,請說明理由;
(4)連接AD、BC,問:AD2+BC2的值是否為定值?如果是,求其值;如果不是,請說明理由.

分析 (1)如圖1中,連接AO1,設⊙O1的半徑為r.在Rt△AOO1中,根據O1A2=OO12+OA2,可得方程r2=42+(r-2)2,由此即可解決問題.
(2)由BD⊥AC,推出∠AGB=90°,由OO1⊥AB,推出OA=OB,推出OG=OA=OB,推出∠OBG=∠OGB=∠DGH,∠OAG=∠OGA=∠D,由∠OBG+∠OAG=90°,推出∠DGH+∠D=90°,即∠DHG=90°.
(3)結論:線段CD的長是定值,CD=6.只要證明△KDC∽△AO1O,得到$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$,求出CD即可.
(4)結論:AD2+BC2的值是定值.由∠AGD=∠BGC=90°,可知AD2+BC2=AG2+DG2+BG2+CG2=(AG2+BG2)+(DG2+CG2)=AB2+CD2,由此即可解決問題.

解答 解:(1)如圖1中,連接AO1,設⊙O1的半徑為r.

∵直線y=2x+4交x軸于點M,交y軸于點A,
∴M(-2,0),A(0,4),
∴OM=2,OA=4,
在Rt△AOO1中,∵O1A2=OO12+OA2
∴r2=42+(r-2)2
∴r=5,
∴OO1=3,
∴點O1坐標為(3,0).

(2)如圖2中,

∵BD⊥AC,
∴∠AGB=90°,
∵OO1⊥AB,
∴OA=OB,
∴OG=OA=OB,
∴∠OBG=∠OGB=∠DGH,∠OAG=∠OGA=∠D,
∵∠OBG+∠OAG=90°,
∴∠DGH+∠D=90°,
∴∠DHG=90°,
∴OH⊥CD.

(3)結論:線段CD的長是定值,CD=6
理由:如圖3中,連接O1A,BC、DO1.延長DO1交⊙O1于K,連接CK.

∵∠BGC=90°,
∴∠GBC+∠ACB=90°,
∵∠AO1O=∠ACB,∠OAO1+∠AO1O=90°,
∴∠K=∠CBD=∠OAO1,∵∠DCK=∠AOO1=90°,
∴△KDC∽△AO1O,
∴$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$,
∴$\frac{CD}{3}$=$\frac{10}{5}$,
∴CD=6.

(4)結論:AD2+BC2的值是定值.AD2+BC2=100.
理由:如圖4中,連接AD、BC.

∵∠AGD=∠BGC=90°,
∴AD2+BC2=AG2+DG2+BG2+CG2=(AG2+BG2)+(DG2+CG2)=AB2+CD2=82+62=100.

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造直角三角形解決問題,學會利用相似三角形的性質解決求線段問題,屬于中考壓軸題.

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