Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k+1）x+k²+2=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$，求k值．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式即可得；
（2）由x₁+x₂=-2（k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0知x₁＜0，x₂＜0，從而由|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$可得-（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$，代入求解即可．

解答 解：（1）∵方程由兩個實數(shù)根，
∴△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得：k≥$\frac{1}{2}$；

（2）∵x₁+x₂=-2（k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴由|x₁|+|x₂|=2$\sqrt{5}$可得-（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$，即2（k+1）=2$\sqrt{5}$，
解得：k=$\sqrt{5}$-1．

點評 本題主要考查根的判別式和韋達(dá)定理，熟練掌握根的判別式的值與根的個數(shù)得關(guān)系及韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．