Question

19．如圖，過?ABCD的頂點A作直線l．
（1）若l交BC邊于點E，BB₁⊥AE，CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，B₁，C₁，D₁為垂足，求證：BB₁+CC₁=DD₁
（2）若l交CD于點E，BB₁⊥AE，CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，B₁，C₁，D₁為垂足，試探究BB₁，CC₁，DD₁之間的關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接BD，過C作CF⊥DD₁于F，得到四邊形CFD₁C₁是矩形，根據矩形的性質得到FD₁=CC₁，根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD，由平行線的性質得到∠ABD=∠CDB，∠B₁BD=∠D₁DF，等量代換得到∠ABB₁=∠CDF，根據全等三角形的性質得到BB₁=DF，于是得到結論
（2）方法與（1）相同．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，過C作CF⊥DD₁于F，
∵CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴四邊形CFD₁C₁是矩形，
∴FD₁=CC₁，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BB₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴BB₁∥DD₁，
∴∠B₁BD=∠D₁DF，
∴∠ABB₁=∠CDF，
在△ABB₁與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{B}_{1}=∠CDF}\\{∠A{B}_{1}B=∠CFD=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABB₁≌△CDF，
∴BB₁=DF，
∵DD₁=DF+FD₁，
∴BB₁+CC₁=DD₁；

（2）BB₁=CC₁+DD₁．
如圖2，連接BD，過C作CF⊥DD₁交DD₁的延長線于F，
∵CC₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴四邊形CFD₁C₁是矩形，
∴FD₁=CC₁，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BB₁⊥AE，DD₁⊥AE，
∴BB₁∥DD₁，
∴∠B₁BD=∠D₁DF，
∴∠ABB₁=∠CDF，
在△ABB₁與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AB{B}_{1}=∠CDF}\\{∠A{B}_{1}B=∠CFD=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABB₁≌△CDF，
∴BB₁=DF，
∵DF=DD₁+FD₁，
∴BB₁=CC₁+DD₁．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判斷和性質，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．