Question

11．四邊形ABCD是菱形，點E在BC上，點F在AB上，點H在CD上，連接AE，FH交于點P，∠APF=∠ABC．
（1）如圖1，若∠ABC=90°，點F和點B重合，求證：AE=BH；
（2）如圖2．求證：AE=FH；
（3）如圖3，若AF+CH=BE，求∠B的度數．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形ABCD是正方形，再證明△ABE≌△CBH即可．
（2）如圖2中，延長CB到N，使得AN=AE，作HM∥BC交AB于M．則四邊形ADHM是平行四邊形，AD=HM，只要證明△ABN≌△HMF，即可解決問題．
（3）如圖3中，在CB取一點N，使得AN=AE，作FM∥BC交CD于M．則四邊形ADMF是平行四邊形，AD=FM，AF=DM，由△ANB≌△AEC，推出AB=AC=BC，推出△ABC是等邊三角形，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵∠APF=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABP=90°，∠ABP+∠CBH=90
∴∠BAE=∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBH}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCH，
∴AE=BH．

（2）證明：如圖2中，延長CB到N，使得AN=AE，作HM∥BC交AB于M．
則四邊形ADHM是平行四邊形，AD=HM，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=HM，
∵HM∥CN，
∴∠HMF=∠ABN，
∵∠APF=∠ABC，∠PAF=∠BAE，
∴∠AFP=∠AEB=∠N，
∴△ABN≌△HMF，
∴AN=HF，
∵AE=AN，
∴AE=HF．

（3）解：如圖3中，在CB取一點N，使得AN=AE，作FM∥BC交CD于M．
則四邊形ADMF是平行四邊形，AD=FM，AF=DM，

由（1）可知△ABN≌△FMH，
BN=HM，
∵BC=CD，AF+CH=DM+CH=BE，
∴CE=HM=BN，
在△ANB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AE}\\{∠ANB=∠AEC}\\{BN=EC}\end{array}\right.$，
∴△ANB≌△AEC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°．

點評 本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．