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11.四邊形ABCD是菱形,點E在BC上,點F在AB上,點H在CD上,連接AE,FH交于點P,∠APF=∠ABC.
(1)如圖1,若∠ABC=90°,點F和點B重合,求證:AE=BH;
(2)如圖2.求證:AE=FH;
(3)如圖3,若AF+CH=BE,求∠B的度數.

分析 (1)首先證明四邊形ABCD是正方形,再證明△ABE≌△CBH即可.
(2)如圖2中,延長CB到N,使得AN=AE,作HM∥BC交AB于M.則四邊形ADHM是平行四邊形,AD=HM,只要證明△ABN≌△HMF,即可解決問題.
(3)如圖3中,在CB取一點N,使得AN=AE,作FM∥BC交CD于M.則四邊形ADMF是平行四邊形,AD=FM,AF=DM,由△ANB≌△AEC,推出AB=AC=BC,推出△ABC是等邊三角形,由此即可解決問題.

解答 (1)證明:如圖1中,

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∵∠APF=∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠ABP=90°,∠ABP+∠CBH=90
∴∠BAE=∠CBH,
在△ABE和△BCH中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBH}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△BCH,
∴AE=BH.

(2)證明:如圖2中,延長CB到N,使得AN=AE,作HM∥BC交AB于M.
則四邊形ADHM是平行四邊形,AD=HM,

∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD=HM,
∵HM∥CN,
∴∠HMF=∠ABN,
∵∠APF=∠ABC,∠PAF=∠BAE,
∴∠AFP=∠AEB=∠N,
∴△ABN≌△HMF,
∴AN=HF,
∵AE=AN,
∴AE=HF.

(3)解:如圖3中,在CB取一點N,使得AN=AE,作FM∥BC交CD于M.
則四邊形ADMF是平行四邊形,AD=FM,AF=DM,

由(1)可知△ABN≌△FMH,
BN=HM,
∵BC=CD,AF+CH=DM+CH=BE,
∴CE=HM=BN,
在△ANB和△AEC中,
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AE}\\{∠ANB=∠AEC}\\{BN=EC}\end{array}\right.$,
∴△ANB≌△AEC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°.

點評 本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬于中考常考題型.

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