Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連AC、BC，E為⊙O上一點，且BE=CE，點F在BE上，CF⊥AB于D．
（1）求證：CB=CF；
（2）若CF=2，EF=3，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據垂直的定義得到∠CDB=90°，根據余角的性質得到∠A=∠BCD，等量代換得到∠CFB=∠CBF，于是得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到BF=1，根據勾股定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AB于D，
∴∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A=∠E，
∴∠E=∠BCF，
∵CE=BD，
∴∠ECB=∠EBC，
∵∠ECB=∠ECF+∠BCF，
∠CFB=∠E+∠ECF，
∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF；
解：（2）∵∠E=∠BCF，∠CBF=∠EBC，
∴△EBC∽△CBF
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BC}$，
∵CF=2，EF=3，
∴$\frac{2}{3+BF}=\frac{BF}{2}$，
∴BF=1，
∵BF²-DF²=BC²-CD²=BD²，
∴1²-（2-CD）²=2²-CD²，
∴CD=$\frac{7}{4}$，
∴BD=$\sqrt{4-（\frac{7}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．