Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形的直角頂點與坐標原點重合，AB⊥y軸，垂足為點F，OA=2，∠B=30°，在Rt△OAB內（包含邊界）有一動點M（x，y），以M為圓心的⊙M經過原點O，且與AB邊相切于點C，⊙M與邊OA、OB分別交于點D、E，則DE的取值范圍為$\sqrt{3}$≤DE≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分別求出DE的最大值和最小值，如圖1中，當點M在OB上時，OM的值最大，設⊙M與AB相切于點G，OM=OG=r，由MG∥OF，推出$\frac{BM}{BO}$=$\frac{MG}{OF}$，可得$\frac{2\sqrt{3}-r}{2\sqrt{3}}$=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，屬于DE的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．如圖2中，當點M在線段OF上時，切點為F，此時⊙M的半徑最小，OM=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DE的最大值為$\sqrt{3}$，由此即可解決問題．

解答 解：在Rt△AOB中，∵OA=2，∠B=30°，
∴AB=2OA=4，OB=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
OF=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{3}$OF=3，
∵∠DOE=90°，
∴DE是⊙O的直徑，
∴DE=2OM．
如圖1中，當點M在OB上時，OM的值最大，設⊙M與AB相切于點G，OM=OG=r，

∵MG∥OF，
∴$\frac{BM}{BO}$=$\frac{MG}{OF}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-r}{2\sqrt{3}}$=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴DE的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
如圖2中，當點M在線段OF上時，切點為F，此時⊙M的半徑最小，
OM=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以DE的最大值為$\sqrt{3}$，

綜上所述，$\sqrt{3}$≤DE≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查切線的性質、坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用特殊位置解決DE的最大值以及最小值，屬于中考常考題型．