Question

6．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠C=120°，點E是BC上一點．∠AEF=60°，EF交CD于F，求證：（1）∠BAE=∠CEF；（2）AE=EF．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠B=60°，由∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∠B=∠AEF=60°，即可推出∠BAE=∠CEF．
（2）連接AF、AC，AC交EF于O．由△AOE∽△FOC，推出△AOF∽△EOC，推出∠OAF=∠OEC=∠BAE，再證明△ABE≌△ACF，即可解決問題．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∵∠C=120°，∠C+∠B=180°，
∴∠B=60°，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠B=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CEF．

（2）連接AF、AC，AC交EF于O．
∵∠B=∠D=60°，AB=CB=CD=AD，
∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，
∴∠AEO=∠ACF=60°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE∽△FOC，
∴$\frac{AO}{OF}$=$\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OF}{OC}$，∵∠AOF=∠EOC，
∴△AOF∽△EOC，
∴∠OAF=∠OEC=∠BAE，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF．

點評 本題考查菱形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．