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7.如圖,已知Rt△ABC的面積為1,D1是斜邊AB的中點,過D1作D1E1⊥AC于E1,連接BE1交CD1于D2;過D2作D2E2⊥AC于E2,連接BE2交CD1于D3;過D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此繼續,可以依次得到點D4,D5,…,Dn,分別記△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3,…,△BDnEn的面積為S1,S2,S3,…Sn.則Sn等于(  )
A.$\frac{1}{(n+1)^{2}}$B.$\frac{1}{(2n)^{2}}$C.$\frac{1}{4n}$D.$\frac{1}{{2}^{n+1}}$

分析 根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質解答即可.

解答 解:由題意得:D1E1∥BC,∴△BD1E1與△CD1E1同底同高,面積相等,以此類推;
根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知:D1E1=$\frac{1}{2}$BC,CE1=$\frac{1}{2}$AC,S1=$\frac{1}{2}$S△ABC
∴在△ACB中,D2為其重心,
∴D2E1=$\frac{1}{3}$BE1
∴D2E2=$\frac{1}{3}$BC,CE2=$\frac{1}{3}$AC,S2=$\frac{1}{{3}^{2}}$S△ABC
∵D2E2:D1E1=2:3,D1E1:BC=1:2,
∴BC:D2E2=2D1E1:$\frac{2}{3}$D1E1=3,
∴CD3:CD2=D3E3:D2E2=CE3:CE2=3:4,
∴D3E3=$\frac{3}{4}$D2E2=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{4}$BC,CE3=$\frac{3}{4}$CE2=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{4}$AC,S3=$\frac{1}{{4}^{2}}$S△ABC…;
∴Sn=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$S△ABC=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$;
故選:A.

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質,解決本題的關鍵是據直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規律.也考查了重心的性質即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍.

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