Question

7．如圖，已知Rt△ABC的面積為1，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則S_n等于（　　）

• A． $\frac{1}{（n+1）^{2}}$
• B． $\frac{1}{（2n）^{2}}$
• C． $\frac{1}{4n}$
• D． $\frac{1}{{2}^{n+1}}$

Answer 1

分析 根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質解答即可．

解答 解：由題意得：D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=$\frac{1}{2}$BC，CE₁=$\frac{1}{2}$AC，S₁=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=$\frac{1}{3}$BE₁，
∴D₂E₂=$\frac{1}{3}$BC，CE₂=$\frac{1}{3}$AC，S₂=$\frac{1}{{3}^{2}}$S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：$\frac{2}{3}$D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=$\frac{3}{4}$D₂E₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{4}$BC，CE₃=$\frac{3}{4}$CE₂=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{4}$AC，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$S_△ABC…；
∴S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$S_△ABC=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$；
故選：A．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是據直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規律．也考查了重心的性質即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．