Question

2．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8個內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

Answer 1

分析 雙向延長AB、CD、EF、GH得四邊形MNPQ，根據多邊形內角和定理求出各內角的度數，故可得出其外角的度數，由此得出四邊形MNPQ是長方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．設GH=x，HA=y，根據MQ=NP可得出y的值，同理得出x的值，進而可得出結論．

解答 解：如圖，雙向延長AB、CD、EF、GH得四邊形MNPQ，
∵八邊形ABCDEFGH的8個內角都相等，
∴每個內角=$\frac{（8-2）×180°}{8}$=135°，
∴每一個外角等于45°，
∴四邊形MNPQ是長方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．
設GH=x，HA=y，
∵MQ=NP，
∴MF+EF+EQ=NA+AB+BP，即$\sqrt{2}$+6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+7+2，解得y=3-$\sqrt{2}$．
同理可得，x=3+2$\sqrt{2}$，
∴該八邊形的周長=32+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是三角形的三邊關系，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形是解答此題的關鍵．