分析 (1)延長CB到G使BG=DF.先證明Rt△ABG≌Rt△ADF,可得到∠GAF=90°,然后再證明△AGE≌△AFE,從而可得到∠GAE=∠FEE=45°;
(2)過點(diǎn)F作FH⊥AE.先求得AE的長,然后依據(jù)S△AEF=S△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH,可求得FH的長,最后在Rt△FHE中,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.
解答 解:(1)如圖所示:延長CB到G使BG=DF.
設(shè)正方形的邊長為a,則BD=DF=$\frac{1}{3}$a,F(xiàn)C=$\frac{2}{3}$a,EC=$\frac{1}{2}$a.
在Rt△EFC中,EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\frac{6}{5}$a.
∵GE=GB+EB=$\frac{6}{5}$a,
∴EF=GE.
∵在Rt△ABG和Rt△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BG=DF}\end{array}\right.$,
∴Rt△ABG≌Rt△ADF.
∴AG=AF,∠BAB=∠FAD.
∴∠GAF=90°.
在△AGE和△AFE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{AE=AE}\\{GE=EF}\end{array}\right.$,
∴△AGE≌△AFE.
∴∠GAE=∠FEE=45°.
(2)如圖所示:過點(diǎn)F作FH⊥AE.
在Rt△ABE中,依據(jù)勾股定可知AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a.
∵S△AEF=S△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH,
∴$\frac{6}{5}$a2=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a•HF.
∴HF=$\frac{12\sqrt{5}}{25}$a.
∴sin∠AEF=$\frac{\frac{12\sqrt{5}a}{25}}{\frac{6}{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
點(diǎn)評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)的定義,掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ | B. | $\frac{1}{(2n)^{2}}$ | C. | $\frac{1}{4n}$ | D. | $\frac{1}{{2}^{n+1}}$ |
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