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9.如圖,正方形ABCD中,E為BC中點(diǎn),DF=$\frac{1}{2}$CF
(1)求∠EAF的度數(shù);
(2)求sin∠AEF的值.

分析 (1)延長CB到G使BG=DF.先證明Rt△ABG≌Rt△ADF,可得到∠GAF=90°,然后再證明△AGE≌△AFE,從而可得到∠GAE=∠FEE=45°;
(2)過點(diǎn)F作FH⊥AE.先求得AE的長,然后依據(jù)S△AEF=S△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH,可求得FH的長,最后在Rt△FHE中,依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

解答 解:(1)如圖所示:延長CB到G使BG=DF.

設(shè)正方形的邊長為a,則BD=DF=$\frac{1}{3}$a,F(xiàn)C=$\frac{2}{3}$a,EC=$\frac{1}{2}$a.
在Rt△EFC中,EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\frac{6}{5}$a.
∵GE=GB+EB=$\frac{6}{5}$a,
∴EF=GE.
∵在Rt△ABG和Rt△ADF中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BG=DF}\end{array}\right.$,
∴Rt△ABG≌Rt△ADF.
∴AG=AF,∠BAB=∠FAD.
∴∠GAF=90°.
在△AGE和△AFE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{AE=AE}\\{GE=EF}\end{array}\right.$,
∴△AGE≌△AFE.
∴∠GAE=∠FEE=45°.

(2)如圖所示:過點(diǎn)F作FH⊥AE.

在Rt△ABE中,依據(jù)勾股定可知AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a.
∵S△AEF=S△AEG=$\frac{1}{2}$AB•GE=$\frac{1}{2}$AE•EH,
∴$\frac{6}{5}$a2=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a•HF.
∴HF=$\frac{12\sqrt{5}}{25}$a.
∴sin∠AEF=$\frac{\frac{12\sqrt{5}a}{25}}{\frac{6}{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

點(diǎn)評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)的定義,掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.如圖,己知△ABC
(1)用直尺和圓規(guī)作出⊙O,使⊙O經(jīng)過A,C兩點(diǎn),且圓心O在AB邊上(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)中,若∠CAB=30°,∠B=60°且⊙O的半徑為1,試求出AB的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.如圖,在正方形ABCD中,AB=a,P為邊BC上一動點(diǎn)(不與B、C重合),E是邊BC延長線上一點(diǎn),連結(jié)AP,過點(diǎn)P作PF⊥AP交∠DCE的平分線于點(diǎn)F,連結(jié)AF與邊CD交于點(diǎn)G,連結(jié)PG.
猜想:線段PA與PF的數(shù)量關(guān)系為PA=PF.
探究:△CPG的周長在點(diǎn)P的運(yùn)動中是否改變?若不改變求其值.
應(yīng)用:若PG∥CF,當(dāng)a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$時,則PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.點(diǎn)C,D分別是△ABO的邊AO,BO 延長線上的點(diǎn),AB的延長線交DC于點(diǎn)E
(1)如圖(1),若∠BOA=90°,BO=AO,AC=BD
①求證:CE=DE;
②若OC=2AO,直接寫出sin∠AEO的值;
(2)如圖(2),若BE=DE,$\frac{AO}{OC}$=$\frac{2}{3}$,AB=4,求DC的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知y是x的反比例函數(shù),且x=3時,y=8.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果自變量x的取值范圍為3≤x≤4.求y的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.當(dāng)k取何值時,方程$\frac{2}{3}$x-3k=5(x-k)+1的解是正數(shù)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.計(jì)算:
(1)$\sqrt{48}$+$\sqrt{3}$-$\sqrt{\frac{1}{2}}$×$\sqrt{12}$+$\sqrt{24}$
(2)($\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$)2(5-2$\sqrt{6}$)
(3)(2$\sqrt{48}$-3$\sqrt{27}$)÷$\sqrt{6}$
(4)($\sqrt{48}$-4$\sqrt{\frac{1}{8}}$)-(3$\sqrt{\frac{1}{3}}$-2$\sqrt{0.5}$)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.如圖,已知Rt△ABC的面積為1,D1是斜邊AB的中點(diǎn),過D1作D1E1⊥AC于E1,連接BE1交CD1于D2;過D2作D2E2⊥AC于E2,連接BE2交CD1于D3;過D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此繼續(xù),可以依次得到點(diǎn)D4,D5,…,Dn,分別記△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3,…,△BDnEn的面積為S1,S2,S3,…Sn.則Sn等于( 。
A.$\frac{1}{(n+1)^{2}}$B.$\frac{1}{(2n)^{2}}$C.$\frac{1}{4n}$D.$\frac{1}{{2}^{n+1}}$

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.有n個數(shù),第一個記為a1,第二個記為a2,…,第n個記為an,若a1=$\frac{1}{2}$,且從第二個數(shù)起,每個數(shù)都等于“1與它前面那個數(shù)的差的倒數(shù)”.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,請猜想并寫出a2010,a2011,a2012的值.

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同步練習(xí)冊答案
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