Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-4，0），B（1，0），交y軸于C點，且OC=2OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上找點D，使△ABD為以AB為腰的等腰三角形，求D點的坐標．
（3）在拋物線上是否存在異于B的點P，過P點作PQ⊥AC于Q，使△APQ與△ABC相似？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定C（0，-2），設交點式y=a（x+4）（x-1），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）先利用待定系數法確定直線BC的解析式為y=2x-2，設D（m，2m-2），討論：當BD=BA時，利用兩點間的距離公式得到（m-1）²+（2m-2）²=5²，當AD=AB時，利用兩點的距離公式得到（m+4）²+（2m-2）²=5²，然后分別解方程求出m即可得到滿足條件的D點坐標；
（3）先利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，由于△ACO∽△ABC，△APQ與△ABC相似，則只有∠CAP=∠OAC，設直線AP交y軸于E，作CF⊥AE于P，則CF=CO=2，證明△ECF∽△EAO，利用相似比得到$\frac{EC}{EA}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{1}{2}$，在Rt△AOE中利用勾股定理可計算出CE=$\frac{10}{3}$，則E（0，-$\frac{16}{3}$），再利用待定系數法確定直線AE的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\\{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$可得到P點坐標．

解答 解：（1）∵B（1，0），OC=2OB，
∴C（0，-2），
設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），
把C（0，-2）代入得a•4•（-1）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
（2）AB=1-（-4）=5，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（1，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=2x-2，
設D（m，2m-2），
∵△ABD為以AB為腰的等腰三角形，
∴BD=BA=5或AD=AB=5，
當BD=BA時，即（m-1）²+（2m-2）²=5²，解得m₁=1+$\sqrt{5}$，m₂=1-$\sqrt{5}$，此時D點坐標為（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），（1-$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），
當AD=AB時，即（m+4）²+（2m-2）²=5²，解得m₁=1（舍去），m₂=-1，此時D點坐標為（-1，-4），
綜上所述，滿足條件的D點坐標為（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$），（1-$\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$），（-1，-4）；
（3）AB²=25，BC²=1²+2²=5，AC²=4²+2²=20，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠CAO，
∴△ACO∽△ABC，
∵△APQ與△ABC相似，
∴∠CAP=∠OAC，
∴AC平分∠BAP，
設直線AP交y軸于E，作CF⊥AE于P，則CF=CO=2，
∵∠CEF=∠AEO，
∴△ECF∽△EAO，
∴$\frac{EC}{EA}$=$\frac{CF}{AO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△AOE中，∵OE²+OA²=AE²，
∴（2+CE）²+4²=（2CE）²，解得CE=-2（舍去）或CE=$\frac{10}{3}$，
∴E（0，-$\frac{16}{3}$），
設直線AE的解析式為y=mx+n，
把A（-4，0），E（0，-$\frac{16}{3}$）得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-2}\\{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{28}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{28}{9}$）．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和等腰三角形的性質；會利用待定系數法求函數解析式；能運用兩點間的距離公式和相似比計算線段的長；會運用分類討論的思想解決數學問題．