Question

14．如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，AF⊥CF，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求證：CA平分∠ECF；
（3）請指出CE與AF有怎樣的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等，即可證明．
（2）想辦法證明∠ACB=∠ACE=45°即可解決問題．
（3）結論：CE=2AF．過點A作AG⊥CG，垂足為點G．先證明AF=AG，再證明CE=2AG即可．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．

（2）證明：∵∠CAE=90°，AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=45°
∵△ABC≌△ADE
∴∠ACB=∠AEC=45°
∴∠ACB=∠ACE
∴AC平分∠ECF                   

（3）解：結論：CE=2AF．
理由：過點A作AG⊥CG，垂足為點G
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，AG⊥CG，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，AG⊥CG，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．