Question

4．如圖，射線AB∥射線CD，∠CAB與∠ACD的平分線交于點E，AC=4，點P是射線AB上的一動點，連結PE并延長交射線CD于點Q．給出下列結論：①△ACE是直角三角形；②S_{四邊形APQC}=2S_△ACE；③設AP=x，CQ=y，則y關于x的函數表達式是y=-x+4（0≤x≤4），其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①正確．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE=$\frac{1}{2}$∠DCA，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠DCA+∠BAC）=90°，延長即可解決問題．
②正確．首先證明AC=AK，再證明△QCE≌△PKE，即可解決問題．
③正確．只要證明AP+CQ=AC即可解決問題．

解答 解：如圖延長CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE=$\frac{1}{2}$∠DCA，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正確，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QCE=∠PKE}\\{EC=EK}\\{∠CEQ=∠PEK}\end{array}\right.$，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S_△QCE=S_△PEK，
∴S_{四邊形APQC}=S_△ACK=2S_△ACE，故②正確，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正確，
故選A．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．