Question

19．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=Rt∠，點(diǎn)P是線段BC延長線上任意一點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角△APD，且∠APD=Rt∠，連結(jié)BD
（1）求證：$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AB}{AD}$；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，試問∠PBD的度數(shù)是否會(huì)變化？若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)，若變化，請(qǐng)說明它的變化趨勢．
（3）己知AB=$\sqrt{2}$，設(shè)CP=x，S_△PBD=S．
①試求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
②當(dāng)S=$\frac{3}{8}$時(shí)，求△BPD的外接圓半徑．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD與PB交于點(diǎn)K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，推出∠ABD=∠∠DBK=90°，推出∠ABD=∠ACP，由∠ADB=∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解決問題．
（2）結(jié)論：∠PBD的度數(shù)是定值，∠PBD=45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出PAK=∠DBK=45°．
（3）①在Rt△ABC中，由AB=$\sqrt{2}$，推出BC=AC=1，在Rt△ACP中，PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，由△ABD∽△ACP，推出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PC}{BD}$，推出$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，可得BD=$\sqrt{2}$x，
根據(jù)S=S_△ABD+S_△APD-S_△ABP計(jì)算即可．②取AD的中點(diǎn)O，連接OB、OP．由∠ABD=∠APD=90°，推出OB=OA=OP=OD，推出點(diǎn)O是△PBD的外接圓的圓心，求出線段AD即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，設(shè)AD與PB交于點(diǎn)K．
∵CA=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵PA=PD，∠APD=90°，
∴∠PDK=∠PAD=∠ABK=45°，∵∠AKB=∠DKP，
∴△AKB∽△PKD，
∴$\frac{AK}{PK}$=$\frac{BK}{DK}$，
∴$\frac{AK}{KB}$=$\frac{PK}{DK}$，∵∠AKP=∠BKD，
∴△AKP∽△BKD，
∴∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，
∴∠ABD=∠∠DBK=90°，
∴∠ABD=∠ACP，∵∠ADB=∠APC，
∴△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{AB}{AD}$；

（2）解：結(jié)論：∠PBD的度數(shù)是定值，∠PBD=45°．
理由：由（1）可知△AKP∽△BKD，
∴PAK=∠DBK=45°，
∴在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，∠PBD的度數(shù)是定值，∠PBD=45°

（3）解：①在Rt△ABC中，∵AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=1，
在Rt△ACP中，PA=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∵△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{PC}{BD}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴S=S_△ABD+S_△APD-S_△ABP=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$x-$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{x}^{2}}$•$\sqrt{1+{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$（1+x）•1=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

②取AD的中點(diǎn)O，連接OB、OP．
∵∠ABD=∠APD=90°，
∴OB=OA=OP=OD，
∴點(diǎn)O是△PBD的外接圓的圓心，
∵S=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{8}$，
解得x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$（舍棄），
∴PC=$\frac{1}{2}$，
由（2）可知BD=$\sqrt{2}$x，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴△PBD的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分割法求三角形面積，學(xué)會(huì)其中外接圓的圓心的方法，屬于中考?jí)狠S題．