Question

5．（1）如圖①，正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接AE交對角線BD于F，線段DF于BF的數量關系是DF=2BF；
（2）如圖②，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊BC、AB的中點，連接AE、DG、DG與AE交于H，求$\frac{DH}{HG}$的值；
（3）如圖③，在正六邊形ABCDEF中，點H、G分別是AB、BC的中點，連接AG、FH、FB，FB與AG相交與M，FH與AG相交與N，請直接寫出$\frac{FN}{NH}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形得對邊平行，由平行得△ADF∽△EBF，列比例式可得DF=2BF；
（2）如圖②，延長DC、AB交于M，先證明△CEM≌△BEA，CM=AB，即DM=2AB，再證明△DHM∽△GHA，列比例式可得結論；
（3）如圖③，作輔助線，構建相似三角形，同理證明△CGO≌△BGA，列比例式可得所求的比值．

解答 解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E是BC的中點，
∴BC=2BE，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{AD}{BE}$，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{BC}{BE}$=$\frac{2}{1}$，
∴DF=2BF；
故答案為：DF=2BF；
（2）如圖②，延長DC、AE交于M，
∵DC∥AB，
∴∠ABC=∠ECM，∠M=∠EAB，
∵CE=BE，
∴△CEM≌△BEA，
∴CM=AB，
∵G是AB的中點，
∴AG=BG，
設AG=x，則AB=2x，DM=4x，
∵DM∥AB，
∴△DHM∽△GHA，
∴$\frac{DM}{AG}=\frac{DH}{HG}$，
∴$\frac{4x}{x}$=$\frac{DH}{HG}$，
∴$\frac{DH}{HG}$=4；
（3）如圖③，連接FC并延長，交AG的延長線于O，過B作BP⊥OF于P，過E作EQ⊥OF于Q，
在正六邊形ABCDEF中，
∴∠ABC=180°-$\frac{360°}{6}$=120°，AB=BC，
∴∠PBC=120°-90°=30°，∠FCB+∠ABC=180°，
∴FC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$BC，
同理FQ=$\frac{1}{2}$EF，
∵點H、G分別是AB、BC的中點，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，BG=CG=$\frac{1}{2}$BC，
設AH=x，則BC=AB=2x，
∴FC=4x，
∵FC∥AB，
∴∠O=∠GAB，
∵BG=CG，∠CGO=∠BGA，
∴△CGO≌△BGA，
∴CO=AB=2x，
∴OF=6x，
∵OF∥AB，
∴△FNO∽△HNA，
∴$\frac{FN}{NH}=\frac{OF}{AH}$=$\frac{6x}{x}$，
∴$\frac{FN}{NH}$=6．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、正六邊形的性質、平行相似的判定，本題的關鍵是作輔助線，構建平行相似的三角形；同時還運用了類比的思想，通過問題1的解決，啟發了第2個和第3個問題的思路，利用作輔助線的方式使問題得以解決．