Question

14．如圖，正方形ABCD中，已知AB=2，動點P、Q分別在AC、CD上，且AP=CQ，則（BP+BQ）²的最小值是8+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建一直線與BP相等，找到（BP+BQ）²的最小值時點Q的位置，先證明△ABP≌△CFQ，則BP=FQ，發(fā)現(xiàn)當B、Q、F三點共線時，BQ+FQ最小，即BP+BQ最小，利用勾股定理求出BF²即可．

解答 解：過C作CF⊥AC，使CF=AB，連接FQ、BF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
∴∠QCF=90°-45°=45°，
∴∠BAC=∠QCF=45°，
∵AB=CF，AP=CQ，
∴△ABP≌△CFQ，
∴BP=FQ，
∴BP+BQ=FQ+BQ≥BF，
當B、Q、F三點共線時，BQ+FQ最小，即BP+BQ最小，
此時過F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵∠DCH=90°，∠QCF=45°，
∴∠FCH=45°，
∵∠CHF=90°，
∴△CFH是等腰直角三角形，
∵CF=AB=2，
∴CH=FH=$\sqrt{2}$，
在Rt△BFH中，BF²=BH²+FH²=（2+$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=8+4$\sqrt{2}$，
∴（BP+BQ）²的最小值是8+4$\sqrt{2}$；
故答案為：8+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)和最短路徑問題，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，將線段BP轉(zhuǎn)化到線段FQ上是本題的關(guān)鍵，利用了三角形的三邊關(guān)系和勾股定理解決此題．