Question

4．學之道在于悟．希望同學們在問題（1）解決過程中有所悟，再繼續探索研究問題（2）．
（1）如圖①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．
①求證：△ADE為等腰三角形．
②若∠B=60°，求證：△ADE為等邊三角形．
（2）如圖②，射線AM與BN，MA⊥AB，NB⊥AB，點P是AB上一點，在射線AM與BN上分別作點C、點 D 滿足：△CPD為等腰直角三角形．（要求：利用直尺與圓規，不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）①先根據∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，進而得到△ADE為等腰三角形；②根據△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根據∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE為等邊三角形；
（2）分三種情況討論：∠CPD為直角頂點；∠PCD是直角頂點；∠PDC是直角頂點，分別進行畫圖即可．第一種情況：使得AP=BD，BP=AC；第二種情況：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三種情況：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．

解答 解：（1）①證明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，
∴△ABD≌DCE，
∴AB=DC，
∴△ADE為等腰三角形；
②∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，
又∵∠BAD=∠CDE．
∴∠ADE=∠B=60°，
∴等腰△ADE為等邊三角形．

（2）有三種結果，如圖所示：

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．解題時注意分類討論思想的運用．