Question

4．觀察下列各等式，并回答問題：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{5}$；…
（1）填空：$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$
（2）猜想：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整數(shù)）
（3）計(jì)算：$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$$+\frac{1}{4×5}$…$+\frac{1}{2015×2016}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式的規(guī)律：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)倒數(shù)的差，即可得；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可得；
（3）利用（1）中的規(guī)律，裂項(xiàng)求和可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得：$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，
故答案為：$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；

（2）猜想：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知等式得出兩個(gè)連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)倒數(shù)的差是解題的關(guān)鍵．