Question

1．如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P．
（1）求證：CE=BF；
（2）求∠BPE的度數．

Answer 1

分析 （1）欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據三角形內角和定理求得∠BPC=120°．

解答 （1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE與△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠A=∠EBC}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；

（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
即：∠BPC=120°，
∴∠BPE=60°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．