Question

11．如圖，A為半徑18cm的⊙O上的定點，動點P從A出發，以3πcm/s的速發沿圓周按逆時針方向運動，當點P回到A地立即停止運動．
  （1）如果∠POA=90°，求點P運動的時間；
（2）如果點B是OA延長線上的一點，AB=OA，那么當點P運動的時間為2s時．判斷直線BP與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$，所以分兩種情況進行分析；
（2）直線BP與⊙O的位置關系是相切，根據已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．

解答 解：（1）當∠POA=90°時，根據弧長公式可知點P運動的路程為⊙O周長的$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$，
設點P運動的時間為ts；
當點P運動的路程為⊙O周長的$\frac{1}{4}$時，3π•t=$\frac{1}{4}$•2π•18，
解得t=3；
當點P運動的路程為⊙O周長的$\frac{3}{4}$時，3π•t=$\frac{3}{4}$•2π•18，
解得t=9；
∴當∠POA=90°時，點P運動的時間為3s或9s．

（2）解：∵當OP⊥PB時，BP與⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=9cm，
∴$\widehat{AP}$=$\frac{60•π×9}{180}$=3π，
∴點P運動的距離為3π，
∴當t=1，有BP與⊙O相切．

點評 本題考查的是切線的性質及弧長公式，解答（2）題時要注意過圓外一點有兩條直線與圓相切，不要漏解．