Question

19．如圖，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（≠0，x＞0）的圖象與直線y=3x相交于點C，過直線上點A（1，3）作AB⊥x軸于點B，交反比例函數圖象于點D，且AB=3BD．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求點C的坐標；
（3）在y軸上確定一點M，使點M到C，D兩點距離之和d=MC+MD 最小，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得D點坐標，則可求得反比例函數解析式；
（2）聯立直線與反比例函數解析式可求得C點坐標；
（3）找C點關于y軸的對稱點為C′，連接C′D交y軸于點，由對稱的性質可知M點即為所求的點．

解答 解：
（1）∵A（1，3），AB⊥x軸于點D，
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1），
∵點D在反比例函數圖象上，
∴1=$\frac{k}{1}$，解得k=1，
∴反比例函數解析式為y=$\frac{1}{x}$；
（2）聯立直線與反比例函數解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）；
（3）設點C關于y軸的對稱點為C′，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
連接C′D交y軸于點M，
′
則MC=MC′，
∴d=MC+MD=MC′+MD=DC′，
∴點M即為滿足條件的點，
設直線C′D解析式為y=mx+n，
把C′、D的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{3}m+n=\sqrt{3}}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3\sqrt{3}-6}\\{n=-2\sqrt{3}+6}\end{array}\right.$，
∴直線C′D的解析式為y=（3$\sqrt{3}$-6）x+（-2$\sqrt{3}$+6），
令x=0可得y=6-2$\sqrt{3}$，
∴M（0，6-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、軸對稱的性質等知識．在（1）中求得D點坐標是解題的關鍵，在（2）中注意函數圖象交點的求法，在（3）中確定出M點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．