Question

8．觀察下列算式，你發現了什么規律？
1³=$\frac{1×4}{4}$；1³+2³=$\frac{4×9}{4}$，1³+2³+3³=$\frac{9×16}{4}$；1³+2³+3³+4³=$\frac{16×25}{4}$；…
（1）根據你發現的規律，計算下面算式的值：1³+2³+3³+4³+5³；
（2）請用一個含n的算式表示這個規律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）幾個連續自然數的立方和其結果分母都為4，如果等號左邊有1個加數，那么分子中的第一個因數為1²，第二個因數為2²，如果等號左邊有2個加數，那么分子中的第一個因數為2²，第二個因數為3²，如果等號左邊有n個加數，那么分子中的第一個因數為n²，第二個因數為（n+1）²；分母始終為4．
（2）根據規律得到：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

解答 解：（1）根據發現的規律，計算下面算式的值：1³+2³+3³+…+5³=$\frac{25×36}{4}$；
（2）根據規律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數據，尋找它們之間的相互聯系，探尋其規律．