Question

9．在?ABCD中，過D作DM⊥AB于點M，點N在邊CD上，DN=BM，連結AN，BN．
（1）求證：四邊形BNDM是矩形；
（2）若CN=3，BN=4，DN=5，求證：AN平分∠DAB．

Answer 1

分析 （1）先根據一組對邊平行且相等證明四邊形BNDM是平行四邊形，再證明∠DMB=90度，進而證明是矩形；
（2）由矩形的性質得：△BNC是直角三角形，利用勾股定理得BC=5，則AD=5，所以AD=DN，由等邊對等角和平行線的性質得出結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴DN∥BM，
∵DN=BM，
∴四邊形BNDM是平行四邊形，
∵DM⊥AB，
∴∠DMB=90°，
∴四邊形BNDM是矩形；

（2）由（1）得：四邊形BNDM是矩形；
∴∠DNB=90°，
∴∠BNC=90°，
∵CN=3    BN=4，
∴BC=5，
∴BC=AD=5，
∵DN=5，
∴DN=AD，
∴∠DAN=∠DNA，
∵DC∥AB，
∴∠DNA=∠NAB，
∴∠DAN=∠DNA=∠NAB，
∴AN平分∠DAB．

點評 本題考查了矩形的性質和判定、平行四邊形的性質、等腰三角形及平行線的性質，熟練掌握矩形和平行四邊形的判定是關鍵：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．