Question

6．閱讀下面計算過程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\sqrt{5}$-2．
試求：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$．
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（n為正整數）=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（3）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{398}+\sqrt{399}}$+$\frac{1}{\sqrt{399}+\sqrt{400}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先找出有理化因式，最后求出即可；
（2）先找出有理化因式，最后求出即可；
（3）先分母有理化，再合并即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$，
故答案為：$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；

（2）原式=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）×（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（3）原式=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）×（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+…+$\frac{1×（\sqrt{400}-\sqrt{399}）}{（\sqrt{400}+\sqrt{399}）×（\sqrt{400}-\sqrt{399}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{400}$-$\sqrt{399}$
=$\sqrt{400}$-1
=19．

點評 本題考查了分母有理化，能正確分母有理化是解此題的關鍵．