Question

17．如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，B，C，D在一條直線上，連結B，E兩點交AC于點M，連結A，D兩點交CE于N點．
（1）AD與BE有什么數量關系，并證明你的結論．
（2）求證：△MNC是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）依據等邊三角形的性質可得到BE=AD，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后可證明∠ACD=∠BCE=120°，依據SAS可證明△BCE≌△ACD，最后依據全等三角形的性質可得到BE=AD；
（2）證明△BCM≌△ACN，從而得到MC=CN，然后證明∠MCN=60°即可．

解答 解：（1）BE=AD．
理由：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
∴BE=AD…（4分）
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBM=∠CAN．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACN=60°．
∴∠BCM=∠ACN，
在△BCM和△ACN中$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{BC=AC}\\{∠BCM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM=CN；
∵∠ACN=60°，
∴△CMN是等邊三角形．

點評 本題主要考查的是等邊三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定，證得△BCM≌△ACN是解題的關鍵．